Tenzor

Tenzor je základní matematický objekt, který zobecňuje pojmy jako skalár, vektor a matice. Zjednodušeně řečeno jde o vícerozměrné pole čísel (či funkcí), které se transformuje podle přísných matematických pravidel při změně souřadnicového systému. Tenzory hrají klíčovou roli v mnoha vědeckých disciplínách, od teoretické fyziky až po moderní strojové učení.

Základním atributem každého tenzoru je jeho řád (často označovaný také jako hodnost). Tento řád udává počet indexů (dimenzí) potřebných k určení každé jednotlivé složky tenzoru.

• Tenzor 0. řádu: Skalár. Reprezentován jediným číslem (např. teplota, hmotnost, čas). Nepotřebuje žádný index.
• Tenzor 1. řádu: Vektor. Jednorozměrné pole čísel reprezentující velikost a směr (např. rychlost, síla). Vyžaduje jeden index (např. v_i).
• Tenzor 2. řádu: Matice. Dvourozměrné pole dat. Vyžaduje dva indexy (řádek a sloupec). Příkladem může být tenzor setrvačnosti nebo tenzor napětí.
• Tenzor 3. a vyšších řádů: Vícerozměrná datová struktura. Zápis 3. řádu si lze představit jako prostorovou „kostku“ čísel.

Ve fyzice, tenzorovém počtu a diferenciální geometrii se tenzory dělí podle toho, jak reagují na změnu báze (souřadnicového systému):

1. Kontravariantní tenzory: Jejich složky se transformují inverzně k transformaci báze. Indexy se tradičně píší nahoru (např. x^i).
2. Kovariantní tenzory: Jejich složky se transformují stejně jako báze samotná. Indexy se píší dolů (např. x_i).
3. Smíšené tenzory: Kombinují kontravariantní a kovariantní složky a mají indexy nahoře i dole (např. T^i_j).

Tenzory jsou naprosto nezbytné pro popis složitých vlastností materiálů a prostorových vztahů.

• V teorii relativity je zakřivení časoprostoru popsáno Riemannovým tenzorem křivosti a vzdálenosti určuje metrický tenzor.
• V mechanice kontinua se využívá tenzor napětí (Cauchyho tenzor) a tenzor deformace k výpočtu, jak se materiál chová pod zátěží ve třech rozměrech.

V oblasti strojového učení (zejména v Deep Learning) se pod pojmem tenzor obvykle myslí zkrátka n-rozměrné pole dat. Téměř všechna data v hlubokých neuronových sítích (pixelové mapy obrázků, zvukové vlny, textové vektory) jsou zpracovávána jako tenzory.

Nejznámější softwarové knihovny a frameworky, které mají tento koncept přímo v názvu nebo na něm staví, jsou:

• TensorFlow – Open-source platforma původně vyvinutá společností Google.
• PyTorch – Populární framework pro výzkum i produkci od společnosti Meta.

Při formální matematické práci s tenzory se velmi často využívá tzv. Einsteinova sumační konvence. Ta výrazně zjednodušuje zápis složitých rovnic tím, že se automaticky vynechává znak sumy (sčítání, $\Sigma$) pro ty indexy, které se ve výrazu opakují nahoře i dole.