====== Metriky vzdálenosti v Machine Learningu ======

Metriky vzdálenosti jsou matematické funkce, které definují "blízkost" mezi dvěma datovými body v n-rozměrném prostoru. Volba správné metriky zásadně ovlivňuje výkon algoritmů strojového učení, zejména u [[it:ml:unsupervised_learning|učení bez učitele]].



===== 1. Euklidovská vzdálenost (Euclidean Distance) =====

Nejpoužívanější metrika, známá z geometrie jako "vzdálenost vzdušnou čarou". Je to délka úsečky spojující dva body.

**Vzorec:**
$$d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2}$$

  * **Vhodná pro:** Spojitá numerická data (např. souřadnice, teplota).
  * **Nevýhoda:** Je velmi citlivá na měřítko (jednotky) a na odlehlé hodnoty (outliers). Vyžaduje předchozí **normalizaci dat**.

===== 2. Manhattanská vzdálenost (Manhattan / Taxicab Distance) =====

Měří vzdálenost jako součet absolutních rozdílů jejich souřadnic. Název je odvozen od mřížovitého půdorysu ulic v Manhattanu, kde se nelze pohybovat šikmo skrz bloky domů.

**Vzorec:**
$$d(x, y) = \sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|$$

  * **Vhodná pro:** Diskrétní data nebo v situacích, kdy máme vysoký počet dimenzí. Je méně citlivá na odlehlé hodnoty než Euklidovská vzdálenost.

===== 3. Kosinová podobnost (Cosine Similarity) =====

Měří úhel mezi dvěma vektory. Nezajímá ji velikost (délka) vektorů, ale pouze jejich směr.

**Vzorec:**
$$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{\|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\|}$$

  * **Vhodná pro:** Textovou analýzu (NLP). Například dva dokumenty mohou mít různou délku (velikost vektoru), ale pokud používají podobná slova, jejich směr (úhel) bude podobný.



===== 4. Hammingova vzdálenost (Hamming Distance) =====

Používá se pro porovnání dvou řetězců stejné délky. Počítá počet pozic, na kterých se odpovídající symboly liší.

  * **Příklad:** Vzdálenost mezi "101**1**101" a "101**0**101" je 1.
  * **Vhodná pro:** Kategorické proměnné (po One-Hot kódování), analýzu genů nebo detekci chyb v přenosu dat.

===== 5. Minkowského vzdálenost (Minkowski Distance) =====

Zobecněná forma Euklidovské a Manhattanské vzdálenosti.

**Vzorec:**
$$d(x, y) = \left( \sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|^p \right)^{1/p}$$

  * Pokud **$p=1$**, jde o Manhattanskou vzdálenost.
  * Pokud **$p=2$**, jde o Euklidovskou vzdálenost.

===== Srovnávací tabulka =====

^ Metrika ^ Typ dat ^ Citlivost na outliers ^ Hlavní využití ^
| Euklidovská | Numerická | Vysoká | Obecné ML, shlukování |
| Manhattanská | Numerická / Celočíselná | Nízká | k-NN, vysokodimenzionální data |
| Kosinová | Text (Vektory) | Nízká | NLP, doporučovací systémy |
| Hammingova | Kategorická / Binární | Nulová | Porovnávání řetězců, genetika |

----
===== Důležité upozornění: Normalizace =====
Většina metrik vzdálenosti vyžaduje, aby data byla ve stejném měřítku. Pokud má jedna vlastnost rozsah 0-1 (např. pravděpodobnost) a druhá 0-1000 (např. cena), bude vlastnost s větším rozsahem dominovat výpočtu vzdálenosti. 
Před výpočtem vždy použijte **Min-Max Scaling** nebo **Standardizaci**.

//Tagy: {{tag>ml matematika statistika distance_metrics clustering}}//