Riemannův tenzor křivosti: Matematické srdce zakřiveného prostoru

Riemannův tenzor křivosti (často zkráceně jen Riemannův tenzor) je komplexní matematický objekt, který nám přesně a kvantitativně říká, jak moc a jakým způsobem je daný prostor (nebo časoprostor) zakřivený.

Představ si, že jsi mravenec pohybující se po povrchu jablka. Z tvého pohledu se povrch zdá lokálně plochý, ale jakmile začneš cestovat na větší vzdálenosti, pravidla klasické (Euklidovské) geometrie přestanou platit. Riemannův tenzor je nástroj, který tomuto mravenci umožňuje z čistě lokálních měření zjistit, na jakém tvaru se vlastně nachází.

Jak křivost vlastně měříme? (Paralelní přenos)

Základní myšlenka Riemannova tenzoru spočívá v konceptu zvaném paralelní přenos.

Představ si, že vezmeš vektor (šipku ukazující určitým směrem) a pohybuješ s ním po uzavřené smyčce tak, abys neustále zachovával jeho směr vůči samotnému povrchu (přenášíš ho paralelně).

V plochém prostoru (např. na stole): Když se s vektorem vrátíš na výchozí místo, bude ukazovat přesně stejným směrem jako na začátku.

V zakřiveném prostoru (např. na povrchu koule): Když se vrátíš na výchozí místo po uzavřené křivce, vektor bude pootočený.

Tento úhlový rozdíl mezi původním a přeneseným vektorem je přímým důsledkem křivosti. Riemannův tenzor nedělá nic jiného, než že tuto odchylku pro jakoukoliv infinitesimální (nekonečně malou) smyčku přesně matematicky popisuje.

Matematická definice

Riemannův tenzor je tenzor čtvrtého řádu. V souřadnicovém zápisu se obvykle značí symbolem <math>R^\rho_{\sigma\mu\nu}</math> a vyjadřuje se pomocí tzv. Christoffelových symbolů (<math>\Gamma</math>), které popisují, jak se mění souřadnicové osy bod od bodu.

Jeho formální definice zní:

<math>R^\rho_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}</math>

Kde:

<math>\partial_\mu</math> a <math>\partial_\nu</math> značí parciální derivace podle příslušných souřadnic.

<math>\Gamma</math> jsou Christoffelovy symboly druhého druhu (tzv. konexe).

Ačkoliv tento vzorec vypadá hrozivě, jeho podstata je logická: první dva členy reprezentují změnu samotného prostoru, zatímco druhé dva (kvadratické) členy korigují to, že samotné souřadnicové systémy mohou být „zakroucené“.

Klíčové vlastnosti a symetrie

Tenzor čtvrtého řádu ve 4D časoprostoru by měl mít teoreticky <math>4^4 = 256</math> nezávislých složek. Riemannův tenzor má ale silné vnitřní symetrie, které tento počet drasticky snižují (ve čtyřech dimenzích na pouhých 20 nezávislých složek):

Antisymetrie v posledních dvou indexech: <math>R^\rho_{\sigma\mu\nu} = -R^\rho_{\sigma\nu\mu}</math>

Antisymetrie v prvních dvou indexech: (při plně kovariantním zápisu) <math>R_{\rho\sigma\mu\nu} = -R_{\sigma\rho\mu\nu}</math>

Symetrie bloků: <math>R_{\rho\sigma\mu\nu} = R_{\mu\nu\rho\sigma}</math>

První Bianchiho identita: Cyklická záměna posledních tří indexů se rovná nule: <math>R^\rho_{\sigma\mu\nu} + R^\rho_{\mu\nu\sigma} + R^\rho_{\nu\sigma\mu} = 0</math>

Význam v Obecné teorii relativity

Riemannův tenzor je ústředním bodem Einsteinovy obecné teorie relativity. Albert Einstein ukázal, že gravitace není „síla“ táhnoucí tělesa k sobě (jak tvrdil Newton), ale je to iluze způsobená tím, že hmotná tělesa zakřivují samotný časoprostor.

Z Riemannova tenzoru se dají odvodit jednodušší objekty, které přímo vystupují v Einsteinových rovnicích pole:

Ricciho tenzor (<math>R_{\mu\nu}</math>): Vzniká úžením Riemannova tenzoru (<math>R_{\mu\nu} = R^\rho_{\mu\rho\nu}</math>).

Skalární křivost (<math>R</math>): Další úžení, které dává jediné číslo pro každý bod v prostoru.

Zatímco Ricciho tenzor popisuje, jak se mění objem shluku volně padajících částic, plný Riemannův tenzor navíc zachycuje slapové síly – tedy to, jak jsou tělesa v gravitačním poli natahována a mačkána.